Il reste présentement à faire voir que pourvu qu’on ait constamment quels que soient d’ailleurs les deux cercles, l’axe radical demeurera invariable. Or, c’est une chose facile à apercevoir. En effet, quels que soient ces deux cercles seront constans ; et il en sera donc de même du rapport de ces deux fractions, lequel, à cause de se réduit simplement à ce dernier rapport étant donc constant ; sera constamment parallèle à elle-même ; elle sera donc aussi constamment perpendiculaire à la droite fixe qui sera ainsi l’axe radical commun à tous les systèmes de deux cercles qui pourront être décrits sous les conditions prescrites.
Donc aussi le plan perpendiculaire à celui de la figure, conduit par la droite fixe sera le plan radical commun à tous les systèmes de deux sphères inscrites respectivement aux deux cônes, de telle sorte que leurs lignes de contact soient à la même distance du sommet commun ce qui démontre la proposition annoncée.
68. À l’avenir, nous appellerons plan radical de deux cônes de même sommet le plan radical commun à tous les systèmes de sphères inscrites aux deux cônes, de telle sorte que leurs lignes de contact avec les deux cônes soient à une même distance quelconque de leur sommet commun. L’intersection de ce plan avec celui des axes sera ce que nous appellerons l’axe radical des deux cônes. Il est aisé de voir que, lorsque les deux cônes se touchent ou se coupent, leur plan radical n’est autre chose que leur plan tangent commun ou celui de leurs communes sections.
69. THÉORÈME. Si, par le sommet commun de deux cônes, on mène arbitrairement une droite dans leur plan radical ; et que par cette droite on conduise des plans tangens aux deux cônes, les lignes de contact de ces plans feront des angles égaux avec la droite dont il s’agit ; et réciproquement, si les lignes de contact de deux plans respectivement tangens à deux cônes de même som-
