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RÉSOLUES.

leurs valeurs données par les équations (11, 12), où $x,y$ sont les coordonnées des centres, elles deviendront

${\begin{aligned}\left(C^{2}-AB\right)(2b\ x+2a\ y-a\ b\ \ )=2(CC'-A'B'),&\\\left(C^{2}-AB\right)(2b'x+2a'y-a'b')=2(CC'-A'B')\,;&\end{aligned}}$

d’où, en multipliant en croix et réduisant

$2bx+2ay-ab=2b'x+2a'y-a'b'\,;$

le lieu des centres des sections coniques qui touchent à la fois les quatre droites données est donc une ligne droite.

Il ne s’agit, pour construire cette droite, que de connaître deux points de sa direction ; or, il est aisé de voir qu’on satisfait également à son équation soit qu’on fasse

$\left\{{\begin{aligned}&x={\frac {1}{2}}a,\\\\&y={\frac {1}{2}}b',\end{aligned}}\right.\quad {\text{ou}}\quad \left\{{\begin{aligned}&x={\frac {1}{2}}a',\\\\&y={\frac {1}{2}}b\,;\end{aligned}}\right.$

or, par la situation de nos quatre tangentes, il est aisé de reconnaître l’un ou l’autre de ces points pour le point milieu de la droite qui joint l’intersection de deux quelconques de ces tangentes à l’intersection des deux autres ; on a donc cet élégant théorème :

THÉORÈME. Le lieu géométrique des centres de toutes les sections coniques inscrites à un même quadrilatère est la droite qui joint les milieux des trois diagonales de ce quadrilatère^[1].

1. C’est un renversement du théorème de Newton, cité par M. le capitaine Poncelet, à la page 211 de ce volume. Cet estimable géomètre nous en a adressé récemment une démonstration purement géométrique que nous publierons à la première occasion.