s’il est nécessaire, concourent en un certain point de sorte que les deux points sont des sommets opposés d’un parallélipipède, formé par ces six plans polaires. Mais les plans radicaux dont le point est l’intersection, sont respectivement parallèles aux faces de ce parallélipipède, et ne sont autre chose (111) que des plans conduits par les milieux de ses arêtes parallèles ; le point intersection de ces trois plans, est donc le centre de ce parallélipipède, et doit par conséquent être en ligne droite avec les points puis donc que le point est en ligne droite avec les points il le sera également avec les points
130. PROBLÈME. Construire une sphère qui en touche quatre autres, données dans l’espace ?
Solution. Déterminez, pour l’une quelconque des sphères données, ses plans polaires de similitude avec les trois autres ; ayant soin de prendre le plan polaire externe, pour les sphères qui doivent être touchées de la même manière, et l’interne pour celles qui doivent être touchées d’une manière différente par la sphère cherchée. Ces plans polaires se couperont en un certain point ; et les plans polaires homologues, relatifs aux trois autres sphère. et respectivement parallèles à ceux-là, se couperont en un second point. En joignant ces deux points par une droite, cette droite percera la première des quatre sphères données aux points où elle devra être touchée par deux sphères, dont chacune touchera à la fois les quatre sphères données de la manière qu’on se sera proposée. En faisant les mêmes opérations relativement à chacune des trois autres sphères, on déterminera pareillement leurs points de contact avec les deux sphères cherchées ; de sorte que le problème se trouvera réduit à celui où il s’agit de faire passer une sphère par quatre points donnés.
On pourra même se contenter de chercher les points de contact des sphères cherchées avec deux des sphères données seulement ; attendu qu’en menant des rayons à ces points, ils détermineront, par leur concours, les centres des sphères cherchées.
