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FONCTIONS

Les équations (1, 2) ne sauraient s’accorder qu’autant qu’on aura généralement $B=0.$ Or, il est aisé de prouver qu’effectivement cette fonction est toujours nulle, à l’exception d’un cas que la démonstration même met en évidence. En effet, si l’on substitue les exponentiels aux sinus, l’on voit d’un coup-d’œil que l’on a

$B={\frac {e^{mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(1+e^{-2x{\sqrt {-1}}}\right)^{m}-{\frac {e^{-mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(1+e^{2x{\sqrt {-1}}}\right)^{m}.$

Mais nous avons

$e^{\pm 2x{\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .2x\mp {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x,$

ou bien

$e^{\pm 2x{\sqrt {-1}}}=2\operatorname {Cos} .^{2}x-1\mp 2{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\operatorname {Cos} .x\,;$

partant, nous aurons

${\begin{aligned}B&={\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x.e^{mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{m}\\&-{\frac {2^{m}\operatorname {Cos} .^{m}x.e^{-mx{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{m}.\end{aligned}}$

Il suit de là que, en vertu des deux équations

$e^{\pm mx{\sqrt {-1}}}=\operatorname {Cos} .mx\pm {\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .mx$