Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/101

97

FONCTIONNELLES.

$\psi x={\sqrt[{3}]{abx}}.$

Soit l’équation

$a\left[\psi x+\psi \left(\operatorname {f} ^{2}x\right)\right]+b\left[\psi (\operatorname {f} x)+\psi \left(\operatorname {f} ^{3}x\right)\right]=c,$

dans laquelle nous supposons $\operatorname {f} ^{4}x=x,$ les changemens successifs de $x$ en $\operatorname {f} x$ ne donneront jamais, outre cette équation, que la suivante :

$a\left[\psi (\operatorname {f} x)+\psi \left(\operatorname {f} ^{3}x\right)\right]+b\left[\psi x+\psi \left(\operatorname {f} ^{2}x\right)\right]=c,$

et leur ensemble sera insuffisant pour l’élimination des trois fonctions $\psi (\operatorname {F} x),\psi (\operatorname {f} ^{2}x),\psi (\operatorname {f} ^{3}x).$

Mais, si la méthode est en défaut pour les équations fonctionnelles de cette classe, elles n’en sont pas moins résolubles, et présentent même cette circonstance remarquable que la valeur de $\psi (x)$ alors contient une fonction arbitraire de $x.$ Un petit nombre d’exemples suffira pour faire comprendre comment on peut parvenir à un tel résultat.

Proposons-nous, pour premier exemple, d’assigner l’équation de la courbe qui jouit de cette propriété que, de quelque manière qu’on y choisisse deux ordonnées telles que la somme de leurs abscisses soit constante et égale à $a,$ la somme de ces ordonnées soit elle-même constante et égale à $2b.$ En désignant l’une de ces abscisses par $x,$ l’autre sera $a-x\,;$ et, si l’on prend pour équation de la courbe cherchée $y=\psi (x),$ la condition du problème conduira à l’équation fonctionnelle du second ordre

$\psi x+\psi (a-x)=2b,$

qui se trouve dans le cas d’exception qui nous occupe. Pour la résoudre, nous lui substituerons la suivante :

$\psi x+(1+k)\psi (a-x)+k\phi x=2b,$