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DES RENCONTRES.

2.^o Des chances qui ont le numéro $2$ au second rang, sans avoir le numéro $1$ au premier ;

3.^o Des chances qui ont le numéro $3$ à son rang, sans avoir les numéros $1,2$ aux leurs ;

4.^o Des chances qui ont le numéro $4$ à son rang, sans avoir aucun des numéros $1,2,3$ aux leurs ;

Et ainsi de suite, jusqu’aux chances qui ont le numéro $n$ à son rang, sans donner aucun des précédens aux leurs. Voyons donc combien il y a de chances de chacune de ces diverses sortes.

1.^o Il y a d’abord évidemment autant de manières d’avoir le numéro $1$ au premier rang, qu’il y a de manières de ranger les $n-1$ autres à sa droite ; de sorte que ce nombre est $(n-1)!.$

2.^o il y a également $(n-1)!$ manières d’avoir le numéro $2$ au second rang ; mais il faut en déduire le nombre de celles d’entre elles qui placent le numéro $1$ au premier, puisque nous en avons déjà tenu compte ; or, ce nombre est évidemment le nombre des manières de disposer les $n-2$ numéros restans à la suite de ces deux-là, lequel est $(n-2)!\,;$ il ne reste donc plus dans ce cas, pour le nombre des chances favorables, que $(n-1)!-(n-2)!$

3.^o Le nombre des manières d’avoir le numéro $3$ au troisième rang, sans avoir le numéro $2$ au second sera, pour les mêmes raisons, $(n-1)!-(n-2)!\,;$ mais il faudra en déduire le nombre des cas où le numéro $1$ est au premier rang, lequel est $(n-2)!-(n-3)!$ puisqu’alors c’est comme si l’on avait un numéro de moins ; il restera donc, pour le cas présent,

$\left[(n-1)!-(n-2)!\right]-\left[(n-2)!-(n-3)!\right]=(n-1)!-2(n-2)!+(n-3)!.$

4.^o Le nombre des manières d’avoir le numéro $4$ à son rang sans avoir les numéros $2,3$ aux leurs, sera semblablement

$(n-1)!-2(n-2)!+(n-3)!\,;$