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PROBLÈME

$n!\left\{{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3!}}-{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}-\ldots \pm {\frac {1}{n!}}\right\}\,;$

puis donc que le nombre total des cas est $n!\,;$ il s’ensuit que la probabilité cherchée est

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3!}}-{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}-\ldots \pm {\frac {1}{n!}}\,;$

comme nous l’avions déjà trouvé.

Troisième solution. Pour fixer les idées, supposons que les numéros soient au nombre de six seulement, et qu’on demande quel est alors le nombre des cas favorables. Supposons qu’il s’agisse de former les arrangemens auxquels ces cas répondent, et soient $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6},$ les nombres respectifs de cas favorables pour $1,2,3,4,5,6$ numéros.

Plaçons d’abord $1$ à son rang, et les cinq autres numéros de toutes les manières possibles dans les autres rangs ; nous aurons fait ainsi $5!$ arrangemens.

Plaçons ensuite $2$ à son rang et les cinq autres numéros de toutes les manières possibles dans les autres rangs ; nous aurons encore fait $5!$ arrangement.

Continuons de la même manière, pour les numéros $3,4,5$ jusqu’au numéro $6$ inclusivement, nous aurons fait ainsi $5!6=6!$ arrangemens, présentant tous évidemment des cas favorables, et les présentant même tous ; mais certains d’entre eux se trouveront répétés plusieurs fois, ainsi que nous allons le voir, et il s’agit présentement d’en faire la réduction.

D’abord l’arrangement $123456,$ où chaque numéro sera à son rang, se trouvera une fois dans chaque groupe, et sera conséquemment répété $6$ fois.