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PROBLÈME

$+{\frac {6.5}{1.2}}\left(4!-C_{4}\right)+{\frac {6}{1}}\left(5!-C_{5}\right)\,;$

cela donnera, en transposant,

${\begin{aligned}&C_{6}+{\frac {6}{1}}C_{5}+{\frac {6.5}{1.2}}C_{4}+{\frac {6.5.4}{1.2.3}}C_{3}+{\frac {6.5}{1.2}}C_{2}+{\frac {6}{1}}C_{1}\\=&1+6+6.5+6.5.4+6.5.4.3+6.5.4.3.2\\=&6!\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+{\frac {1}{6!}}\right).\end{aligned}}$

En généralisant ce raisonnement, ce qui est aisé, on trouvera

$C_{n}+{\frac {n}{1}}C_{n-1}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}C_{n-2}+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}C_{n-3}+\ldots +{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}C_{2}+{\frac {n}{1}}C_{1}$

$=n!\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+\ldots {\frac {1}{n!}}\right).$

Si ensuite on désigne par $P_{1},P_{2},P_{3},\ldots P_{n},$ les probabilités qui répondent à $1,2,3,\ldots n$ numéros, on aura, comme nous l’avons vu,

$C_{1}=P_{1},\quad C_{2}=2P_{2},\quad C_{3}=3!P_{3},\quad C_{n}=n!P_{n},$

ce qui donnera, en substituant et divisant les deux membres par $n!,$

$P_{n}+{\frac {P_{n-1}}{1}}+{\frac {P_{n-2}}{2}}+{\frac {P_{n-3}}{3!}}+{\frac {P_{n-4}}{4!}}+\ldots +{\frac {P_{1}}{(n-1)!}}$

$={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+\ldots {\frac {1}{n!}}\,;$