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INTÉGRALES

toute la précision désirable. Mais on conçoit bien que, en considérant ainsi l’intégrale en question, rien n’établit l’identité entre l’intégrale arithmétique représentée par $\phi (x)-\phi (0)+\psi (1)$ et l’intégrale analitique représentée par $\operatorname {F} (x)=\operatorname {F} (0).$

Il est vrai que cette identité a lieu, généralement parlant ; mais elle ne saurait, avoir lieu dans les cas particuliers où il n’y a pas une continuité physique entre les différentes parties de la courbe qui a pour ordonnée le coefficient de $\operatorname {d} x.$ Alors l’analise pure met, pour ainsi dire, en évidence l’impossibilité d’une continuité physique dans la surface terminée par la courbe et l’axe des abscisses, en présentant, par l’intégration directe, un résultat en partie réel et en partie imaginaire. Plusieurs exemples démontrent que, en pareil cas, il suffit de supprimer la partie imaginaire du résultat ainsi trouvé, pour obtenir l’intégrale arithmétique ; mais je n’ose croire qu’un tel moyen puisse, dans tous les cas, être employé avec sûreté. Toutefois, je vais faire voir que du moins il est légitime, relativement à l’intégrale $\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}.$

II. En intégrant depuis $n=0$ jusqu’à $n=1,$ il est clair que l’on a

$\int _{0}^{1}a^{n}\operatorname {d} n={\frac {a-1}{\operatorname {Log} .a}}\,;$

donc, en changeant successivement $a$ en $1+\alpha$ et $1-\alpha ,$ nous aurons.

$\int _{0}^{1}(1+\alpha )^{n}\operatorname {d} n={\frac {+\alpha }{\operatorname {Log} .(1+\alpha )}},$

$\int _{0}^{1}(1-\alpha )^{n}\operatorname {d} n={\frac {-\alpha }{\operatorname {Log} .(1-\alpha )}}\,;$

de là on conclura, en développant le binôme $(1-\alpha )^{n},$