Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/175

169

RÉSOLUES.

$x+y={\sqrt {a^{2}+b^{2}+{\frac {2ab}{\operatorname {Sin} .\gamma }}}},\qquad x-y={\sqrt {a^{2}+b^{2}-{\frac {2ab}{\operatorname {Sin} .\gamma }}}}.$

Le dernier de ces résultats prouve qu’on ne sauroit avoir

$a^{2}+b^{2}<{\frac {2ab}{\operatorname {Sin} .\gamma }},$ c’est-à-dire, $\operatorname {Sin} .\gamma <{\frac {2ab}{a^{2}+b^{2}}},$

ou encore

$\operatorname {Sin} .\gamma <1-{\frac {(a-b)^{2}}{(a-b)^{2}+2ab}},$

quantité essentiellement positive et moindre que l’unité. Ainsi, $\operatorname {Sin} .\gamma$ est nécessairement compris entre les deux limites

$1\quad$et$\quad {\frac {2ab}{a^{2}+b^{2}}}$

Il atteint la première lorsqu’on a $x-y=a-b,$ c’est-à-dire, lorsque les deux demi-diamètres conjugués $x,y$ sont les demi-diamètres principaux eux-mêmes ; il atteint la seconde, lorsqu’on a $x=y,$ c’est-à-dire, lorsque $x$ et $y$ sont les demi-diamètres conjugués égaux.

Or, il résulte évidemment de l’expression de $x+y,$ que cette somme sera minimum dans le premier cas, et maximum dans le second ; le théorème se trouve donc ainsi complètement démontré.

THÉORÈME II. De tous les systèmes de diamètres conjugués d’une ellipsoïde, les diamètres principaux sont ceux dont la somme est un minimum ; et les diamètres conjugués égaux sont ceux dont la somme est un maximum.

Démonstration. La démonstration de ce théorème se déduit bien simplement du théorème qui précède.

Il faut d’abord pour cela se rappeler que l’un quelconque des