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RÉSULTAT

nombre des erreurs en sens contraire ; mais il paraît fort difficile de l’admettre dans le cas où, par exemple, il existe une erreur unique très-considérable, dans un sens et une multitude d’erreurs très-petites en sens contraire.

La dernière équation ci-dessus peut elle-même être mise sous cette autre forme

${\frac {\operatorname {d} ^{n-1}.(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\ldots }{\operatorname {d} x^{n-1}}}=0,$

ou encore sous celle-ci

${\frac {\operatorname {d} ^{k-1}.\left\{(x-a)^{k}+(x-b)^{k}+(x-c)^{k}+(x-d)^{k}+\ldots \right\}}{\operatorname {d} x^{k-1}}}=0\,;$

donc la méthode vulgaire revient aussi à supposer nulles soit la $(n-1)$^me dérivée du produit des erreurs, soit la $(k-1)$^me dérivée de la somme de leurs $k.$^mes puissances, $k$ étant un nombre entier positif quelconque.

Si, dans cette dernière formule, on suppose $k=2,$ elle devient

${\frac {\operatorname {d} \left\{(x-a)^{2}+(x-b)^{2}+(x-c)^{2}+(x-d)^{2}+\ldots \right\}}{\operatorname {d} x}}=0,$

ou, en d’autres termes,

$(x-a)^{2}+(x-b)^{2}+(x-c)^{2}+(x-d)^{2}+\ldots =minimum\,;$

donc, la méthode vulgaire revient à supposer que la somme des quarrés des erreurs qui affectent les données est la moindre possible ; c’est-à-dire que cette méthode n’est qu’une application très particulière de la Méthode des moindres quarrés, publiée, pour la première fois, par M. Legendre, en 1805, et dont M. Gauss a déclaré, en 1809, être de son côté, en possession depuis 1795. Cette méthode, que l’un et l’autre des deux géomètres que nous venons de citer n’avaient indiquée que comme paraissant réunir à