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FONCTIONS.
Il est d’abord aisé de voir qu’elles sont toutes commutatives, tant entre elles qu’avec le facteur constant ; et il n’est pas plus difficile d’apercevoir que
sont commutatives avec toute fonction de
sans
tandis que
le sont avec toute fonction de
sans
enfin, il n’est pas moins évident qu’elles sont toutes distributives.
En représentant donc par
une fonction quelconque de
et de constantes, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {\rm {E}}{x}}(up)=p{\frac {\rm {E}}{x}}u,&{\frac {\Delta }{x}}(up)=p{\frac {\Delta }{x}}u,\\{\frac {\rm {E}}{x}}p=p,&{\frac {\Delta }{y}}p=0.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c53668f3367802b98d714793319f58a75a56ea1)
Si, au contraire,
était supposé fonction de
et de constantes, nous aurions
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {\rm {E}}{y}}(up)=p{\frac {\rm {E}}{y}}u,&{\frac {\Delta }{y}}(up)=p{\frac {\Delta }{y}}u,\\{\frac {\rm {E}}{y}}p=p,&{\frac {\Delta }{y}}p=0.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed7649a6fb27b8bf5bc4015625cef79e2bd4b48)
On voit, d’après cela, qu’il est toujours possible de prendre les dérivées
de manière qu’elles s’évanouissent, la première en même temps que
et la seconde en même temps que
et c’est ce que nous supposerons désormais.
Dans ce cas,
est commutative avec
et avec toute fonction qui ne renferme pas
de même