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DES FONCTIONS.

${\begin{aligned}&\Gamma u=au+a_{1}{\frac {\operatorname {E} }{x}}u+a_{2}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{2}u+\ldots +a_{m}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{m}u\\+&b{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+b_{1}{\frac {\operatorname {E} }{x}}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+b_{2}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}+\ldots +b_{m}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{m}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&p{\frac {\operatorname {d} ^{n}u}{\operatorname {d} x^{n}}}+p_{1}{\frac {\operatorname {E} }{x}}{\frac {\operatorname {d} ^{n}u}{\operatorname {d} x^{n}}}+p_{n}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{n}u}{\operatorname {d} x^{n}}}+\ldots +p_{m}\left({\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{m}{\frac {\operatorname {d} ^{n}u}{\operatorname {d} x^{n}}},\end{aligned}}$

Il est d’ailleurs évident que, dans ces diverses formules, il sera permis de prendre pour $a,a_{1},a_{2},\ldots b,b_{1},b_{2},\ldots p,p_{1},p_{2},\ldots$ des fonctions quelconques de $x,y.$

On sent que nous n’en finirions jamais, si nous voulions indiquer toutes les applications que l’on peut faire de la théorie que nous avons exposée dans le présent mémoire ; et c’est ce qui nous détermine à terminer ici.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

De la recherche des facteurs rationnels des polynomes ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit l’équation générale du cinquième degré

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\qquad$(1)

dans laquelle il nous est permis de supposer tous les coefficiens entiers. Si, après avoir changé les signes, on divise continuellement par $x$ en transposant le terme sans $x$ après chaque division, il viendra successivement