Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/319

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

311

DES POLYNOMES.

réciproquement ; ce qui offre un moyen assez commode de découvrir si un nombre donné est ou n’est pas valeur de l’inconnue.

Si l’on a $a=1,$ et que, comme nous l’avons supposé, les coefficiens $b,c,d,e,f$ soient entiers ; et l’on sait qu’on peut toujours transformer l’équation de manière à les faire devenir tels ; il est connu qu’alors toute valeur rationnelle de $x$ devra être entière, et il est visible que, dans ce cas, $E,D,C,B$ devront également être entiers ; d’où il suit, en particulier, que, dans le même cas, $x$ ne pourra être qu’un des diviseurs du dernier terme $f$ ^[1]. La recherche des racines rationnelles de la proposée se réduira donc ainsi à chercher d’abord tous ceux des diviseurs, tant positifs que négatifs, de son dernier terme qui n’excéderont pas les limites extrêmes de ses racines, et à examiner ensuite quels sont ceux de ces diviseurs qui vérifient les équations (2), en discontinuant d’ailleurs la vérification pour tous ceux d’entre eux qui feraient prendre une valeur fractionnaire à quelqu’un des nombres $E,D,C,B.$

Cette méthode, qui s’applique évidemment aux équations littérales comme aux équations numériques, est, pour le fond, celle que Bezout a cru devoir substituer à celle de Newton ; mais il a

↑ Quelques auteurs en donnent pour raison que le dernier terme est le produit de toutes les racines ; mais cette raison ne pourrait être admise que dans le seul cas où toutes les racines de la proposée seraient réelles et rationnelles. Dans le cas contraire, en effet, ne pourrait-on pas supposer, par exemple, que, $7$ étant une des racines réelles, et $28$ étant le produit de toutes les racines de cette sorte, le produit de toutes les racines tant incommensurables qu’imaginaires soit ${\frac {9}{7}},$ auquel cas le dernier terme, abstraction faite de son signe, se trouverait être $28\times {\frac {9}{7}}$ ou $36$ qui ne serait point divisible par $7.$
Au surplus, puisqu’il est d’ailleurs prouvé que toute racine entière d’une équation, conditionnée comme nous l’avons dit, est diviseur de son dernier terme, il nous est permis d’en conclure, à posteriori, que lorsque le premier terme d’une équation est sans coefficient, et que les autres sont sans dénominateurs, le produit de ses racines tant incommensurables qu’imaginaires est nécessairement un nombre entier.

[1] Quelques auteurs en donnent pour raison que le dernier terme est le produit de toutes les racines ; mais cette raison ne pourrait être admise que dans le seul cas où toutes les racines de la proposée seraient réelles et rationnelles. Dans le cas contraire, en effet, ne pourrait-on pas supposer, par exemple, que, $7$ étant une des racines réelles, et $28$ étant le produit de toutes les racines de cette sorte, le produit de toutes les racines tant incommensurables qu’imaginaires soit ${\frac {9}{7}},$ auquel cas le dernier terme, abstraction faite de son signe, se trouverait être $28\times {\frac {9}{7}}$ ou $36$ qui ne serait point divisible par $7.$
Au surplus, puisqu’il est d’ailleurs prouvé que toute racine entière d’une équation, conditionnée comme nous l’avons dit, est diviseur de son dernier terme, il nous est permis d’en conclure, à posteriori, que lorsque le premier terme d’une équation est sans coefficient, et que les autres sont sans dénominateurs, le produit de ses racines tant incommensurables qu’imaginaires est nécessairement un nombre entier.

[1]