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DES POLYNOMES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$x^{m}+ax^{m-1}+bx^{m-2}+\ldots +gx+h=0\,;\qquad$(1)

et, pour fixer les idées, supposons que s’étant assuré qu’elle n’a de diviseurs rationnels ni du premier ni du second degré, on veuille savoir si elle n’en a pas quelqu’un du troisième. Représentons ce diviseur, s’il existe, par

$x^{3}+Ax^{2}+Bx+C,\qquad$(2)

dans lequel il s’agira, s’il est possible, de déterminer les nombres $A,B,C,$ lesquels doivent évidemment être entiers.

Pour y parvenir, remarquons d’abord que, si (2) divise (1), il devra le diviser, quelque valeur particulière qu’on donne à $x.$ Mettons donc pour $x,$ dans l’un et dans l’autre, les termes $k,k+l,k+2l,k+3l$ d’une progression quelconque par différences ; représentons par $H,H',H'',H'''$ les valeurs numériques que prend le premier membre de (1), par l’effet de cette substitution. Quant à (2), il deviendra successivement

${\begin{aligned}&k^{3}+Ak^{2}+Bk+C,\\&(k+l)^{3}+A(k+l)^{2}+B(k+l)+C,\\&(k+2l)^{3}+A(k+2l)^{2}+B(k+2l)+C,\\&(k+3l)^{3}+A(k+3l)^{2}+B(k+3l)+C\,;\end{aligned}}$

dont les premières différences seront

${\begin{aligned}&l\left\{\left(3k^{2}+\,\ 3kl+\quad l^{2}\right)+A(2k+\ \ l)+B\right\},\\&l\left\{\left(3k^{2}+\,\ 9kl+\ \ \,7l^{2}\right)+A(2k+3l)+B\right\},\\&l\left\{\left(3k^{2}+15kl+19l^{2}\right)+A(2k+5l)+B\right\}\,;\end{aligned}}$

les secondes,

${\begin{aligned}&1.2l^{2}\left\{3\left(k+\ \ l\right)+A\right\},\\&1.2l^{2}\left\{3\left(k+2l\right)+A\right\}\,;\end{aligned}}$

et enfin la troisième