Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/368

360

PUISSANCES

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}a^{m-3}+bA_{m-4}=A_{m-3},$

${\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{m-2}+bA_{m-3}=A_{m-2},$

${\frac {m}{1}}a^{m-1}+bA_{m-2}=A_{m-1},$

$a^{m}+bA_{m-1}=A_{m}.$

En prenant la somme de leurs produits respectifs par $b^{m-1},b^{m-2},b^{m-3},$$\ldots b^{3},b^{2},b,1,$ il vient, en réduisant,

$A_{m}=a^{m}+{\frac {m}{1}}a^{m-1}b+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{m-2}b+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{2}b^{m-2}+{\frac {m}{1}}.ab^{m-1}+b^{m}$

c’est-à-dire,

$A_{m}=(a+b)^{m}.$

Si, par exemple, on avait $m=5,$ en posant successivement

${\begin{aligned}5a\ +b\,\quad &=A_{1},\\5a^{2}+bA_{1}&=A_{2},\\10a^{3}+bA_{2}&=A_{3},\\5a^{4}+bA_{3}&=A_{4},\\a^{5}+bA_{4}&=A_{5},\\\end{aligned}}$

on aurait

$A_{5}=(a+b)^{5}.$

Voilà donc un moyen assez commode de former une puissance d’un nombre composé de dizaines et d’unités. Soit, par exemple, le nombre $47$ dont il soit question de former la cinquième puissance ; en le considérant comme $40+7,$ prenant $40$ pour $a$ et $7$ pour $b,$ on écrira d’abord les cinq premières puissances de $40$ en cette manière

$40,1600,64000,2560000,102400000,$

et au-dessous les coefficiens de la cinquième puissance d’un binôme, à partir du second terme, en cette manière,

$5,10,10,5,1.$