M. Legendre, en suivant le mode de décomposition indiqué par Euclide, est parvenu directement, d’une manière fort élégante, à l’expression du volume du tétraèdre, de laquelle il a pu conclure ensuite que les tétraèdres de même base ou seulement de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalens ; mais comme, dans la géométrie plane, on s’occupe de la comparaison des surfaces avant de chercher à en déterminer l’étendue ; il m’a semblé un peu plus méthodique de suivre une marche analogue dans la géométrie des corps. Voici, en conséquence, de quelle manière je démontre depuis longtemps, dans mes cours, que deux tétraèdres de bases équivalentes et de même hauteur sont équivalens.
Soient les deux tétraèdres dont il s’agit. Si l’on nie qu’ils soient équivalens, il faudra nécessairement admettre qu’il y en a un qui est plus grand que l’autre ; supposons donc qu’on admette que ce soit de telle sorte qu’on ait
on pourra toujours admettre que, parmi tous les tétraèdres semblables à et plus grands que lui, il y en a un équivalent à soit ce tétraèdre, de manière qu’on ait
et seront donc deux tétraèdres semblables, que l’on pourra faire coïncider par le sommet et les trois arêtes de l’un de angles trièdres de leurs bases, auquel cas, leurs faces opposées à ces angles se trouveront parallèles.
Soit divisée la hauteur de en un assez grand nombre de parties égales pour qu’en menant, par les points de division, des plans parallèles à la base et construisant, sur les sections résultantes comme bases, une suite de prismes triangulaires circonscrits, à la manière de M. Lacroix, ces prismes soient tous renfermés dans ce qui est toujours possible ; et soit la somme de ces prismes ; nous aurons donc,
