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QUESTIONS

on aura celle du quart de la lemmscate dont il s’agit, en prenant l’intégrale $\int {\frac {a^{2}}{2}}\operatorname {Cos} .2\theta .\operatorname {d} \theta$ depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =45^{\circ }\,;$ ce qui donne exactement ${\frac {a^{2}}{4}}.$ Mais si, ne faisant pas attention à ce que la courbe ne s’étend pas au-delà de $\theta =45^{\circ },$ on cherche l’aire entre l’axe et sa perpendiculaire par le centre de la courbe, c’est-à-dire depuis $\theta =0^{\circ }$ jusqu’à $\theta =90^{\circ }\,;$ on pourrait présumer que l’analise avertirait de cette méprise, en donnant un résultat, partie réel et partie imaginaire, dont la partie réelle serait l’aire cherchée du quart de la courbe, tandis, que la partie imaginaire répondrait à l’aire comprise dans l’angle demi-droit où la courbe n’existe plus. Mais il n’en est pas ainsi ; car la valeur de l’intégrale, prise depuis $\theta =0^{\circ }$ jusqu’à $\theta =90^{\circ }\,;$ est égale à zéro. Cela montre qu’on doit toujours s’assurer qu’une intégrale est réelle dans toute l’étendue de l’intégration, avant de se fier au résultat que donne l’application des règles ordinaires.

Paris, le 6 mai 1822.

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des deux derniers problèmes de géométrie
énoncés à la page 180 du présent volume ;

Par M. J. B. Durrande, licencié ès sciences, professeur
de physique au collége royal de Cahors.

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THÉORÈME I. Tous les cylindres circonscrits à une même ellipsoïde, dans lesquels les plans des deux bases sont parallèles à celui de la ligne de contact de l’ellipsoïde avec la surface convexe du cylindre sont égaux en volume ; et ce volume est plus petit que celui de tous les autres cylindres que l’on pourrait circonscrire à cette ellipsoïde.