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PARALLÉLISME DES LIGNES

19.

Entre toutes les courbes parallèles et également distantes d’une courbe à double courbure donnée, prises dans le sens que nous venons de dire, il en est deux qui sont particulièrement remarquables ; ce sont celles qui, dans les points qui correspondent à ceux de la courbe à double courbure donnée, ont avec elle le même plan osculateur, et se trouvent conséquemment situées avec cette courbe sur une même surface développable enveloppe de tous ses plans osculateurs.

La courbe à double courbure étant donnée, rien n’est plus facile que d’obtenir ces deux parallèles. Soit $(x',y',z')$ un point de la courbe à double courbure donnée, et soit $(t',u',z')$ le point correspondant de la parallèle cherchée ; les équations du plan normal et du plan osculateur seront

$(x-x'){\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}+(y-y'){\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}+(z-z')=0,$

$(x-x'){\frac {\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} z'^{2}}}-(y-y'){\frac {\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} z'^{2}}}=(z-z')\left\{{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} z'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y'}{\operatorname {d} z'^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} z'}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x'}{\operatorname {d} z'^{2}}}\right\}\,;$

il faudra donc exprimer que le point $(t',u',v')$ est à la fois sur ces deux plans et à une distance $k$ du point $(x',y',z')$ ce qui donnera, en supprimant ensuite les accens,

${\begin{aligned}(t-x){\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+(u-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}+(v-z)=0,\qquad \qquad &\quad (1)\\\\(t-x){\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}}-(u-y){\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}}=(v-z)\left\{{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} z^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} z^{2}}}\right\},&\quad (2)\\\\(t-x)^{2}+(u-y)^{2}+(v-z)^{2}=k^{2},\qquad \qquad &\quad (3)\end{aligned}}$