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PARALLÉLISME DES LIGNES

Soient $x,y$ les coordonnées de la courbe donnée, $t,u$ celle de la courbe cherchée, et à la longueur commune des normales à la première terminées à la seconde. Soit $(x',y')$ un point de la première courbe ; et soit $(t',u')$ le point correspondant de la seconde ; l’équation de la normale à la première courbe, au point particulier que l’on considère sera, comme l’on sait,

$(x-x')+(y-y'){\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=0\,;$

puis donc que le point $(t',u')$ est sur cette normale, et à une distance $k$ de son point de départ, on doit avoir, à la fois,

$(t'-x')+(u'-y'){\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}=0,\qquad (t'-x')^{2}+(u'-y')^{2}=k^{2}\,;$

ou, en supprimant les accens, désormais inutiles,

${\begin{array}{rr}(t-x)+(u-y){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad &(1)\\\\(t-x)^{2}+(u-y)^{2}=k^{2},\qquad &(2)\end{array}}$

équations qui résolvent le problème.

Si, en effet, on veut mener à une courbe, donnée par une équation en $x$ et $y,$ une courbe parallèle qui en soit distante de la quantité $k\,;$ de la différentielle de l’équation donnée, on tirera la valeur de ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ pour la substituer dans l’équation (1), ce qui donnera une première équation finie entre $x,y,t,u\,;$ l’équation (2) en sera une seconde, et la proposée sera la troisième. Éliminant donc $x,y$ entre ces trois équations, l’équation résultante en $t$ et $u$ sera celle de la courbe cherchée.

Pour premier exemple ; supposons que la ligne donnée, à