Occupons-nous présentement des propriétés des quadrilatères à la fois inscriptibles et circonscriptibles au cercle et que nous avons annoncé avoir ici principalement en vue.
Soient
et
(fig. 1) les centres des deux cercles, et
un quadrilatère à la fois inscrit au premier et circonscrit au dernier, de manière que ses côtés consécutifs
touchent ce dernier en
Soient menées
formant un nouveau quadrilatère inscrit au cercle
Les diagonales
des deux quadrilatères se couperont toutes quatre en un même point
(Théor. IX). En outre, les trois droites
et
concourront en un même point
les trois droites
et
en un même point
les trois droites
et
en un même point
et enfin les trois droites
et
en un même point
et les quatre points
appartiendront à une même ligne droite dont le point
sera le pôle.
Désignons par
le rayon du cercle inscrit, par
le rayon du cercle circonscrit, et par
respectivement, les tangentes ![{\displaystyle \mathrm {AE=AH} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cd9684599bfa6ca4bb96b59c6bc08774c2185b)
THÉORÈME X. Dans tout quadrilatère à la fois inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés du quadrilatère avec le cercle inscrit divisent en deux parties égales les quatre angles formés par les deux diagonales, et sont par conséquent perpendiculaires l’une à l’autre.
Démonstration. En effet, le quadrilatère
étant inscrit au cercle
les deux angles
sont égaux comme inscrits au même arc. Les deux angles
sont aussi égaux, comme formés par une même corde
et les tangentes à ses deux extrémités. Donc les deux triangles
et
sont équiangles ; d’où il suit que
mais on a
comme opposés au sommet ; donc,
donc la droite
divise en deux parties égales l’angle
et