et
un troisième sommet ; et soient menées sur
et
les perpendiculaires
et
On aura
et par suite
![{\displaystyle ac=r^{2},\qquad a^{2}=(\mathrm {R} +x)^{2}-r^{2},\qquad c^{2}=(\mathrm {R} -x)^{2}-r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef16027f341e2c40503199ccdea0795bc5a6374a)
d’où
![{\displaystyle a^{2}-c^{2}=4\mathrm {R} x,\qquad a^{2}+c^{2}=2x^{2}+2\left(\mathrm {R} ^{2}-r^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9431394a083dc7b07b7dbea88bad2179d55b4a3b)
ajoutant et retranchant tour à tour à cette dernière équation, l’équation
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(a+c)^{2}=2x^{2}+2R^{2},\\&(a-c)^{2}=2x^{2}+2\left(R^{2}-2r^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9536b1aef7278121bd9ce0e5efdf7cb4ff2f4875)
d’où, en multipliant,
![{\displaystyle \left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}=4\left\{x^{4}+\left(\mathrm {R} ^{2}-2r^{2}\right)x^{2}+\mathrm {R} ^{2}\left(\mathrm {R} ^{2}-2r^{2}\right)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b3f29498aea62d3b36eaae08603425413c5186)
Mais on a, d’un autre côté,
![{\displaystyle \left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}=4\mathrm {R} x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d3543270c829e59bebee1c0aeff03c6943f484)
égalant donc ces deux valeurs, transposant et réduisant, on aura finalement
![{\displaystyle x^{4}-2\left(\mathrm {R} ^{2}+r^{2}\right)x^{2}+\mathrm {R} ^{2}\left(\mathrm {R} ^{2}-2r^{2}\right)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0fd0d35811dd636ce5e04ce2fb8cb1604572b4c)
d’où
![{\displaystyle x={\sqrt {\mathrm {R} ^{2}+r^{2}\pm {\sqrt {4\mathrm {R} ^{2}+r^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc803819d3da6262b846d60222500a4a23f0951d)
On lèvera l’ambiguïté du signe en observant que lorsque
la valeur de
doit être nulle, ce qui prouve que c’est le signe inférieur qui doit être admis.