nombre des sommets surpasse constamment de deux unités le nombre des arêtes[1].
En représentant donc par le nombre des faces, par le nombre des sommets et par le nombre des arêtes d’un polyèdre quelconque, on aura
Soient ensuite représentés respectivement par le nombre des faces trigones, tétragones, pentagones, hexagones, …, et par le nombre des sommets trièdres, tétraèdres, pentaèdres, hexaèdres, … ; on aura d’abord évidemment
En outre, comme chaque arête appartient à la fois à deux faces et se termine à deux sommets, il s’ensuit qu’en comptant, soit le nombre des côtés de toutes les faces, soit le nombre des arêtes de tous les sommets, on compte deux fois le nombre total des arêtes du polyèdre ; de sorte qu’on doit encore avoir
Substituant les valeurs (2) de et et tour à tour les deux valeurs (3) de dans l’équation (1), on obtiendra les deux suivantes ;
- ↑ On peut consulter, sur l’historique et sur la démonstration de ce théorème, le III.e volume du présent recueil (pag. 169-189).