5. Les formules (A) et (B) servent à connaître les valeurs d’un grand nombre d’intégrales définies, par celles de la série finie qui en forme le second membre. La seule condition à laquelle doive être assujettie la fonction arbitraire
qui entre dans ces formules et les deux constantes
et
c’est que la série de Taylor soit applicable et que les développemens
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Sin} .x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Sin} .2x+\ldots \\\\\operatorname {F} (\alpha )+{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).\operatorname {Cos} .x+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).\operatorname {Cos} .2x+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b20de0c7a8499ab7cd149d0fc1924c800dab45)
soient convergens.
Ainsi, par exemple, on pourra supposer,
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha )=\operatorname {Cos} .a\alpha ,\qquad \operatorname {F} (\alpha )=\operatorname {Sin} .a\alpha ,\qquad \operatorname {F} (\alpha )=e^{m\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4586b9f2b97243a1331e7a50e5bbdb1868e532d1)
les constantes
étant quelconques. Mais si l’on fait
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha )=\alpha ^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff5ca6c08f099e070fee28e95a138dba11e6669)
en supposant ensuite
il faudra que l’exposant
soit un nombre entier positif, autrement les termes de la série de Taylor deviendraient infinis. Si, au contraire, on suppose
le nombre
pourra recevoir toutes les valeurs positives possibles. On poura faire aussi
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha )={\frac {\alpha ^{m}}{1+b\alpha ^{m}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89a0e257bca23ee83a46e96f0c51333164dcc03)
et
étant des nombres entiers positifs, et
un nombre moindre que l’unité, pourvu que l’on fasse ensuite ![{\displaystyle \alpha =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccefb075eb872b58821421eb59741512b87f54f7)
Soit, par exemple,
, et qu’on doive ensuite poser
ce qui exigera que le nombre
soit entier ; posons de plus
le premier membre de l’équation (A) deviendra