![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{b^{2}+x^{2}}}x\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af95289332964fce9d1fac194d3f5d65e53aac8b)
![{\displaystyle =\varpi \left\{{\frac {p}{1}}\operatorname {F} '(\alpha ).e^{-qb}+{\frac {p^{2}}{1.2}}\operatorname {F} ''(\alpha ).e^{-2qb}+{\frac {p^{3}}{1.2.3}}\operatorname {F} '''(\alpha ).e^{-3qb}+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663202a849119a02f19724a22f916a42d054f130)
ou encore
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)+\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{b}}\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qb}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda4a0b7701b187d65a0e5f44ff818bb38b27459)
(M)
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{qx{\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qx{\sqrt {-1}}}\right)}{b^{2}+x^{2}}}x\operatorname {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0808ca29f02f05d638a4db6fa287b351927c70e8)
![{\displaystyle =\varpi \left\{\operatorname {F} \left(\alpha +pe^{-qb}\right)-\operatorname {F} (\alpha )\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4140c886dcc2ceb7159e54356d50e59dc631c5a1)
(N)
On peut faire, dans les formules (M) et (N), les mêmes suppositions que dans les formules (A) et (B), puisque, dans ces quatre formules, la fonction
est assujettie aux mêmes restrictions.
Soient, par exemple,
Le premier membre de l’équation (M) deviendra
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Sin} .ae^{qx{\sqrt {-1}}}+\operatorname {Sin} .ae^{-qx{\sqrt {-1}}}}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a02a2f7e6df3ab3fb4f85d8838c31edfebffff3)
En faisant disparaître les imaginaires et formant le second membre, on trouvera finalement
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Cos} .qx){\frac {e^{a\operatorname {Sin} .qx}+e^{-a\operatorname {Sin} .qx}}{b^{2}+x^{2}}}\operatorname {d} x={\frac {\varpi }{b}}\operatorname {Sin} .ae^{-qb}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e22196b7f4578e30998997430572cba74749ab)
Il est inutile de multiplier les exemples pour faire comprendre que