![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }e^{-x}.\psi \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d41cfab9c20a11aab45d3d9dcea834c957b8406)
Faisant ensuite
![{\displaystyle e^{-x}=z,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6a579be394d372d3c61f8157939b5c0da3d35f)
d’où
![{\displaystyle \quad \int _{0}^{\infty }e^{-x}\psi \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x=\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa652c3b00de3b2c644ef5e4c9f0d6d45520b78)
on aura
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af439d3f0bb2d3450399727bd114dc0179da6cd)
(1)
Par une marche semblable, et en observant que
![{\displaystyle \int _{0}^{\varpi }e^{-nx}.\operatorname {Sin} .nx.\operatorname {d} x={\frac {1}{2n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0567a328e6991acb58ec4a3ac341726af6acf898)
on trouvera
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)-{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=x{\sqrt {-1}}\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fefac5adec7573577bb99fbc03c4bb75d9e80f)
(2)
En ajoutant membre à membre les équations (1) et (2), on retombe sur l’équation (Q), qui se trouve ainsi rigoureusement justifiée.
10. Pour donner une application de cette dernière équation, soit
![{\displaystyle \psi (z)={\frac {\operatorname {Log} .(1+z)}{z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b33b0e744b1c7fea7736c37265cd30b08f92924)