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$\int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=\int _{0}^{\infty }e^{-x}.\psi \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x.$

Faisant ensuite

$e^{-x}=z,\quad$d’où$\quad \int _{0}^{\infty }e^{-x}\psi \left(e^{-x}\right)\operatorname {d} x=\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z.$

on aura

$\int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)+{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z.$ (1)

Par une marche semblable, et en observant que

$\int _{0}^{\varpi }e^{-nx}.\operatorname {Sin} .nx.\operatorname {d} x={\frac {1}{2n}},$

on trouvera

$\int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)-{\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\psi \left({\frac {e^{-x{\sqrt {-1}}}}{e^{x}}}\right)\right\}\operatorname {d} x=x{\sqrt {-1}}\int _{0}^{1}\psi (z)\operatorname {d} z.$(2)

En ajoutant membre à membre les équations (1) et (2), on retombe sur l’équation (Q), qui se trouve ainsi rigoureusement justifiée.

10. Pour donner une application de cette dernière équation, soit

$\psi (z)={\frac {\operatorname {Log} .(1+z)}{z}}\,;$