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branche ponctuée qui en est le prolongement. La même fonction ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ devient infinie lorsqu’on a $x=0$ d’où $y=\pm 1,$ ce qui indique que l’une et l’autre branches à leur origine commune sur l’axe des $y$ ont cet axe pour tangente. Si l’on a $x=\pm 1$ d’où $y=1,$ la fonction ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=1,$ c’est-à-dire qu’en ces points la tangente à la courbe fait un angle demi-droit avec les axes des coordonnées. Enfin ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ devenant infinie lorsqu’on a, à la fois, $x=\infty$ et $y=\infty ,$ il s’ensuit qu’à mesure que $x$ et $y$ augmentent positivement, la branche continue tend sans cesse à devenir perpendiculaire à l’axe des $x.$

Quant à la fonction ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ elle est positive pour toutes les valeurs négatives de $x$ numériquement plus grande que l’unité ; ce qui indique que la branche ponctuée tourne sa convexité vers l’axe des $x$ depuis $x=-\infty$ jusqu’à $x=-1\,;$ elle devient nulle au point pour lequel on a $x=-1$ et $y=-1,$ ce qui indique une inflexion en ce point. Elle est en effet négative depuis $x=-1$ jusqu’à $x=0,$ ce qui montre que, dans cet intervalle, c’est la concavité de la courbe qui est tournée vers l’axe des $x.$ Elle devient infinie pour $x=0,$ ce qui annonce un nouveau point d’inflexion sur l’axe des $y,$ à l’endroit où la branche ponctuée devient continue^[1]. Enfin,

1. Pour rendre manifeste la vérité de ces dernières assertions, remarquons d’abord que $x=-{\frac {1}{e}}$ fait prendre au facteur $\left(\operatorname {l} .ex\right)^{2}+{\frac {1}{x}}$ la valeur $-e,$ et que, si l’on donne à $x$ une série de valeurs de la forme
   $x=-{\frac {1}{e}},\quad -{\frac {1}{e^{\frac {1}{2}}}},\quad -{\frac {1}{e^{\frac {1}{3}}}},\quad -{\frac {1}{e^{\frac {1}{4}}}},\ldots -{\frac {1}{e^{\frac {1}{m}}}},$ ayant pour limite $-1\,;$

   il en résultera pour les deux termes $\left(\operatorname {l} .ex\right)^{2}$ et ${\frac {1}{x}},$ les deux séries de valeurs suivantes