des
pour passer au nouveau système de coordonnées, il faudra faire
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x&=\alpha t\ \ +\beta u\ \ +\gamma v,\\y&=\alpha 't\,+\beta 'u\,+\gamma 'v,\\z&=\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v\,;\end{aligned}}\right\}\quad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87038313cc440c3b3873e2dbaa2d41f54e4f8aac)
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle a(\alpha t+\beta u+\gamma v)^{2}+b(\alpha 't+\beta 'u+\gamma 'v)^{2}+c(\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v)^{2}=d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbf3cbc0731ef11ee0586c3f9c251686cab7f73)
(3)
Si, dans cette équation, on fait tour-à-tour deux des coordonnées égales à zéro, et qu’on en tire ensuite la valeur de la troisième, on obtiendra ainsi les valeurs de
qu’on trouvera être
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\mathrm {OA} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\alpha ^{2}+b\alpha '^{2}+c\alpha ''^{2}}}},\\\\&\mathrm {OB} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\beta ^{2}+b\beta '^{2}+c\beta ''^{2}}}},\\\\&\mathrm {OC} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\gamma ^{2}+b\gamma '^{2}+c\gamma ''^{2}}}}.\end{aligned}}\right\}\quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d0ffa0863d47a7abca4aaf4287e6d97a222a68)
Cela posé, considérons le tétraèdre rectangle dont le sommet est en
et dont
est la face hypothénusale. Les aires des faces rectangulaires de ce tétraèdre sont
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {1}{2}}OB.OC,\quad {\frac {1}{2}}OC.OA,\quad {\frac {1}{2}}OA.OB} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e57b6bfe99fa1de2d39cd72679c950d677c39d)
on sait d’ailleurs que la somme de leurs quarrés doit être égale au quarré de l’aire de la face hypothénusale ; d’où il suit qu’on doit avoir