d’après une loi connue, dans un rapport constant que nous nommerons
Faisons passer par les trois points
une circonférence de cercle. Cette circonférence touchera
en
et coupera de nouveau la droite
en un point
Il est aisé de voir que les sinus des angles
que la tangente
au cercle
fait avec les cordes
sont entre eux comme ces cordes. Donc le rapport de celles-ci est donné et égal à
et suivant c que
sera plus grand ou plus petit que
les points
et
seront ou ne seront pas situés tous deux du même côté de
Ces deux cas doivent être examines séparément.
Premier cas (fig. 1).
d’où
L’angle
étant alors égal à l’angle
prenons sur
une portion
égale à
et joignons
les deux triangles isocèles
seront semblables ; donc l’angle
sera égal à l’angle
et par conséquent l’angle
égal à l’angle
mais on a aussi l’angle
égal à l’angle
donc les deux triangles
et
sont semblables, et donnent conséquemment cette proportion
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {BA}{BG}}={\frac {IA}{IM}}} ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b480529fd22ef2a2514a33c315d98424fa3e1cbe)
ou
![{\displaystyle \quad \mathrm {\frac {BA}{BG}} ={\frac {a}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df38e63fa8e200c3bf88eefed580148c7f4a0b6)
donc
est constant et donné de grandeur ; et comme
![{\displaystyle \mathrm {BG=MB-MG=MB-MA} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68394e2823a54536eb3ba5948e97d02b77b086d0)
on voit que la différence
est constante, et que par conséquent le point
est à une branche d’hyperbole dont les foyers sont
et
et dont l’axe transverse est égal à ![{\displaystyle \mathrm {BG.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ae0d6303b2e42aeba4b79747c79e1b88c55f17)
De plus
est la normale à cette courbe au point
puisqu’elle fait, avec les deux rayons vecteurs
des angles