Ce qui précède nous conduit à une construction assez simple des courbes (1), (2), (3).
Soit prise (fig. 6) sur la direction de
une longueur
et soit
parallèle à
qui coupe en
la direction de
On a d’abord
![{\displaystyle \mathrm {\frac {IA}{IM'}} ={\frac {a}{c}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a4567d15a0158ca0bc8cd9b8f66e9f415a5142)
d’où
![{\displaystyle \quad \mathrm {\frac {IA}{M'A}} ={\frac {a}{c-a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f67266b37d0246ee2c25dcd483cd20f4a9f1d3)
les triangles
donnent ensuite
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {CA}{C'A}}={\frac {CI}{C'M'}}={\frac {IA}{M'A}}} ={\frac {a}{c-a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88010209d76bdf7b10f097b242545e3300bcbfda)
donc le point
est donné de position et la distance
donnée de grandeur ; de sorte que le point
appartient à une circonférence de cercle dont on connaît le centre
et le rayon.
Ainsi, décrivons un cercle dont le centre
et le rayon
soient déterminés par les proportions
![{\displaystyle \mathrm {\frac {CA}{CC'}} ={\frac {a}{c}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fada1b37f4b2f8611ae06e1fd26643663fba7453)
et
![{\displaystyle \quad \mathrm {{\frac {CI}{C'M'}}={\frac {CA}{C'A}}} ={\frac {a}{c-a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4217e9a6eb945f2beed4ac5d9efe32e0ef0513)
le point
sera un centre de similitude des cercles dont
et
sont les centres. Soient menées par ce point
des droites
qui coupent ces deux cercles en des points corrélatifs
et
de sorte que les rayons
soient parallèles entre eux ; puis, faisant passer par les points
et
une suite de cercles
prenons sur chacun d’eux une corde
égale à
tellement que l’angle
soit de même espèce que
nous obtiendrons, par cette construction, tous les points
de la courbe demandée, et toutes ses normales ![{\displaystyle \mathrm {MI.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad2264e4ee8cb1608f2798d94cd7004a5427128)
Une construction analogue, indiquée (fig. 2), a lieu relativement à l’ellipse et à l’hyperbole dont il a été question (fig. 1 et 2).