Soit donc
(fig. 12) une droite qu’il faille diviser en
parties égales. Pour y parvenir, sur
comme base, soit érigé, à volonté, un triangle
Soit prolongée
au-delà de
d’une quantité
égale à
fois
Par le point
soit menée une droite arbitraire, coupant respectivement
et
en
et
Soient encore menées
et
se coupant en
Alors la droite
coupera
en un point
tel que
et
contiendront respectivement
et
des
divisions de
En effet, les quatre droites
et
forment un quadrilatère complet, dont les trois diagonales sont
et
et l’on a, par construction,
![{\displaystyle \mathrm {QA:QB} ::n+1:n\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43e9cd27d93b59065d5259b8d001321d0eb992f)
mais, dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est harmoniquement coupée par les deux autres ; d’où il suit qu’on doit avoir
![{\displaystyle \mathrm {PA:PB::QA:QB} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c634e5f51647b594272106541de452b6f475c1b3)
on aura donc aussi
![{\displaystyle \mathrm {PA:PB} ::n+1:n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0feb89589f07232e09b606d1c2ed61cd80d35ee1)
comme nous l’avions annoncé[1].
- ↑ M. du Chayla, capitaine du génie, nous a indiqué, pour éviter la multiplicité des parallèles qu’exige la méthode ordinaire, ou plutôt pour pouvoir les mener facilement, un tour d’adresse fort simple, qui pourrait d’autant mieux trouver place dans les élémens, qu’il ne repose que sur les notions qu’on est dans l’usage d’y développer. Voici en quoi il consiste :
Soit
(fig. 13) la droite à diviser ; soit menée, à l’ordinaire, par le point
une autre droite sur laquelle soient portées, à partir du même point, autant d’ouvertures de compas égales et arbitraires qu’on veut de divisions dans
et supposons que la dernière se termine en
Soit menée
et du point
comme centre, et avec
pour rayon, soit