Aire de cette base …
![{\displaystyle {\frac {a^{2}\left(4\varpi x^{2}-a^{2}\right)}{4\varpi x^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9194bd12c2885fbfdd48a1ad1c537d3b33d8a61)
Volume du cône
![{\displaystyle \ldots {\frac {a^{2}\left(4\varpi x^{2}-a^{2}\right)\left(2\varpi x^{2}-a^{2}\right)}{24\varpi ^{2}x^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f33a90c67a978726fb89f3e281daa92b400f9f)
![{\displaystyle y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b65dd6cfd102bf21539fdabb5b129901cbba4f8)
secteur-cône …
![{\displaystyle a^{4}.{\frac {6\varpi x^{2}-a^{2}}{24\varpi ^{2}x^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aff38027dabd98a5c4a274f071027e19866337a)
En différentiant deux fois la valeur de
, on trouve
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {a^{4}}{8\varpi ^{2}}}.{\frac {a^{2}-2\varpi x^{2}}{x^{4}}},\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}={\frac {a^{4}}{2\varpi ^{2}}}.{\frac {\varpi x^{2}-a^{2}}{x^{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe9ddbad6a43298d4f129a7918671d2342a341b)
En égalant donc à zéro la valeur de
on obtiendra pour la condition commune au maximum et au minimum
![{\displaystyle a^{2}-2\varpi x^{2}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bc6ba3e50679ff6d352381b8f13f15e7fbc421)
d’où
![{\displaystyle \quad x={\frac {a^{2}}{2\varpi x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/052b8f3477d5f8514ae3158d3d992cb0c15cfcd4)
il faut donc que le rayon soit égal à la flèche du segment, ou en d’autres termes, que ce segment soit une hémisphère.
On tire de là
![{\displaystyle \varpi x^{2}-a^{2}=-\varpi x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888e0fc44463d610b602a2595922cdcbc512957c)
et par suite
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-{\frac {a^{4}}{2\varpi x^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f8e05c5222b7a388e54d4962d89c1ce53509e3)
et comme
est positif, il s’ensuit que cette valeur est négative et qu’ainsi l’hémisphère est le segment maximum.
Si l’on supposait le secteur plus grand que l’hémisphère, on aurait