pendiculaires diviseront le polygone irrégulier inscrit en une suite de triangles dont les aires seront respectivement, en représentant par
l’angle intérieur du polygone régulier,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\quad {\frac {1}{2}}bc\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\ldots {\frac {1}{2}}gh\operatorname {Sin} .\varepsilon ,\quad {\frac {1}{2}}ha\operatorname {Sin} .\varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb166b56b509923591cc84925e0e36260fdafe6)
la somme des aires de ces triangles, c’est-à-dire, l’aire du polygone irrégulier inscrit, aura donc pour expression
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+bc+\ldots +gh+ha)\operatorname {Sin} .\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584196559d184aff5cf7bef22e1330b0eb4392d0)
Or, d’après ce qui vient d’être démontré ci-dessus, cette aire est constante, quelle que soit la situation du point P sur la circonférence
puis donc que
est constant, il s’ensuit que la somme de produits
![{\displaystyle ab+bc+\ldots +gh+ha,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd2560425e33d353c19a010463d51f3fe67e189)
est aussi une quantité constante, quelle que soit la situation du point
sur la circonférence ![{\displaystyle \mathrm {(C)} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64aa3407407352ea58a1ab270c33ff44ff004714)
Or, les quarrés des côtés consécutifs du polygone irrégulier inscrit ont respectivement pour expression
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\&b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&g^{2}+h^{2}+2gh\operatorname {Cos} .\varepsilon ,\\&h^{2}+a^{2}+2ha\operatorname {Cos} .\varepsilon \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c83359593a6f9ba8ea6fe47f571a89a8c197232)
donc la somme des quarrés de ces mêmes côtés a pour expression