en déduit en changeant continuellement
et
en
et
et
en
et
et
en
et
comme si l’on tournait sur la circonférence d’un cercle, où seraient écrites de suite les lettres
ou les lettres
Au moyen de cette remarque, la formule (i) donne
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .a\operatorname {Cos} .B=\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a,\\&\operatorname {Sin} .a\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\,;\end{aligned}}\right\}\quad (39)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0c30966aef14d12bd667e5c0cfe2660affe1b93)
d’où, en ajoutant et retranchant, tour-à-tour, et décomposant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Sin} .a(\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C)=(1-\operatorname {Cos} .a)(\operatorname {Cos} .b+\operatorname {Cos} c),\\&\operatorname {Sin} .a(\operatorname {Sin} .c\operatorname {Cos} .B-\operatorname {Sin} .b\operatorname {Cos} .C)=(1+\operatorname {Cos} .a)(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} c)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262224724bbac31b60051a766911e93bb1b845f8)
multipliant ces deux dernières équations membre à membre, simplifiant, on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Cos} .^{2}C=\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c=\operatorname {Sin} .^{2}c-\operatorname {Sin} .^{2}b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24d9d5036457262cb4c8616bbf46365e06f1843d)
ou, en transposant,
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}b\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}C\right)=\operatorname {Sin} .^{2}c\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}B\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586aaa22bb27d05e3baaa5e42bd1429989a02cd2)
ou enfin
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Sin} .^{2}C=\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Sin} .^{2}B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c41a04a3a761751ef3be25606422145e3ccd77)
En extrayant les racines des deux membres de cette dernière équation, on lèvera l’ambiguïté qui naît des doubles signes en remarquant que, dans le cas particulier où
on doit avoir aussi
On trouvera ainsi
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .C=\operatorname {Sin} .c\operatorname {Sin} .B\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78d4dfef1772682794e169957ef2c1b4a14d625)
d’où, par la permutation des lettres,