![{\displaystyle r_{3}^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\operatorname {Cos} .\left(r_{1},r_{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4984119d5f2395832eaa2551eae1a0d8a5d2d16f)
comparant cette dernière avec celle de laquelle elle est dérivée, on obtient la formule bien connue
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\left(r_{1},r_{2}\right)=\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}+\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f670b5c238387803c30023eea2bc6de8cd9100c)
de laquelle on déduit ensuite aisément
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\left\{{\begin{aligned}&\left(\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}\right)^{2}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}\right)^{2}\\\\+&\left(\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}\right)^{2}\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb13e913605e5540777b1870aa75bb285a99025)
L’équation
![{\displaystyle r_{3}^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}\operatorname {Cos} .\left(r_{1},r_{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa17cfd890a0f26d778044086501654966b4aa3)
exprime aussi une proposition fondamentale de la trigonométrie rectiligne ; mais nous verrons bientôt qu’elle n’est qu’un cas particulier d’une proposition plus générale.
Retournons présentement aux équations (2). En prenant la somme de leurs produits respectifs, d’abord par
puis par ![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\alpha _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c787b7e8ebdb7f577367fd0592b0b46db65b80)
et ainsi de suite, et enfin par
observant que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha _{1}+\operatorname {Cos} .^{2}\beta _{1}+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma _{1}=1,\\\\&\operatorname {Cos} .^{2}\alpha _{2}+\operatorname {Cos} .^{2}\beta _{2}+\operatorname {Cos} .^{2}\gamma _{2}=1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ebf6061a385b654a9d2fc7832be8be5db2725e)
et que