![{\displaystyle u=\int _{a}^{b}y\operatorname {d} x=\pm c\left(b^{\frac {n-m}{n}}-a^{\frac {n-m}{n}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ff74d4480ea2972b8450ec1f97a1b6e031587e)
en posant, pour abréger,
suivant que
est
ou ![{\displaystyle <m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3be4f38d89f47769328f4c38459237be9dbc89b)
Présentement, il importe de distinguer deux cas, savoir ; celui de
et celui de
Si l’on a
on a aussi
L’origine naturelle de l’intégrale est l’origine même des coordonnées, quel que soit le signe de
c’est-à-dire que, dans l’intégrale indéfinie
![{\displaystyle \int y\operatorname {d} x=cx^{\frac {n-m}{n}}+\mathrm {Const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/affbcd32edd66c5df9f0763bd6095b2444b934ad)
en faisant la constante nulle, le terme
représentera l’espace compris entre l’axe des
correspondant à
et l’ordonnée correspondant à l’abscisse quelconque
et que de plus ce terme se présentera avec le signe
ou avec le signe
suivant que
sera positif ou négatif, comme il est facile de le vérifier, en prenant les intégrales
et
Il en résulte que, si l’on prend l’intégrale entre deux limites positives
et
ou entre deux limites négatives
cette intégrale représentera toujours la différence entre les espaces
et
ou entre les espaces
et
Si l’on voulait avoir l’aire comprise entre une limite négative
et une limite positive
il faudrait, d’après la règle connue, à raison de la valeur
correspondant à
faire deux intégrations, pour obtenir séparément
et
et ajouter ensemble les résultats. On obtiendrait ainsi