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retranchant cette dernière de la précédente, nous aurons, en nous rappelant qu’en général $1-\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}x,$

$\Pi ^{2}=4\left\{r_{1}r_{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\left(r_{1},r_{2}\right)+r_{1}r_{3}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\left(r_{1},r_{3}\right)+r_{2}r_{3}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\left(r_{2},r_{3}\right)+\ldots \right\}.$

Ainsi, Le quarré du demi-périmètre d’un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, est égal à la somme des produits de ses côtés deux à deux multipliés par les quarrés des sinus des moitiés des angles que comprennent entre elles leurs directions.

§. IV.

Posons généralement, pour abréger,

${\begin{aligned}&x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+x_{3}^{m}+\ldots +x_{n}^{m}=X_{m},\\\\&y_{1}^{m}\,+y_{2}^{m}\,+y_{3}^{m}+\ldots +y_{n}^{m}=Y_{m},\\\\&z_{1}^{m}\,+z_{2}^{m}\,+z_{3}^{m}+\ldots +z_{n}^{m}=Z_{m}.\end{aligned}}$

Le quarré de la distance entre deux sommets quelconques est

$\left(x_{p}-x_{q}\right)^{2}+\left(y_{p}-y_{q}\right)^{2}+\left(z_{p}-z_{q}\right)^{2}\,;$

ou, en développant,

$\left(x_{p}^{2}+y_{p}^{2}+z_{p}^{2}\right)-2\left(x_{p}x_{q}+y_{p}y_{q}+z_{p}z_{q}\right)+\left(x_{q}^{2}+y_{q}^{2}+z_{q}^{2}\right).$

Si l’on veut avoir la somme des quarrés des distances du sommet $\left(x_{p},y_{p},z_{p}\right)$ à tous Les autres, il faudra prendre la somme des résultats qu’on obtient en mettant dans cette formule pour $q$ tous les nombres naturels de $1$ à $n$ inclusivement. Il ne sera pas même nécessaire d’en excepter le nombre $p$ puisque la distance d’un sommet à lui-même est nulle. On obtiendra ainsi, pour la somme de ces quarrés, à l’aide des notations ci-dessus,