retranchant cette dernière de la précédente, nous aurons, en nous rappelant qu’en général ![{\displaystyle 1-\operatorname {Cos} .x=2\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb48d0921c9edc36293409ea55da48ef7ed5e0c)
![{\displaystyle \Pi ^{2}=4\left\{r_{1}r_{2}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\left(r_{1},r_{2}\right)+r_{1}r_{3}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\left(r_{1},r_{3}\right)+r_{2}r_{3}\operatorname {Sin} .^{2}{\frac {1}{2}}\left(r_{2},r_{3}\right)+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fcbd0c8a43304476f181248f4f17b07ed48b527)
Ainsi, Le quarré du demi-périmètre d’un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, est égal à la somme des produits de ses côtés deux à deux multipliés par les quarrés des sinus des moitiés des angles que comprennent entre elles leurs directions.
§. IV.
Posons généralement, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+x_{3}^{m}+\ldots +x_{n}^{m}=X_{m},\\\\&y_{1}^{m}\,+y_{2}^{m}\,+y_{3}^{m}+\ldots +y_{n}^{m}=Y_{m},\\\\&z_{1}^{m}\,+z_{2}^{m}\,+z_{3}^{m}+\ldots +z_{n}^{m}=Z_{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/243a86cf9a85e9439085bab2eb370716778d3151)
Le quarré de la distance entre deux sommets quelconques est
![{\displaystyle \left(x_{p}-x_{q}\right)^{2}+\left(y_{p}-y_{q}\right)^{2}+\left(z_{p}-z_{q}\right)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70aadc478e67b8e91b7c4e731a7c5b0d78ae6481)
ou, en développant,
![{\displaystyle \left(x_{p}^{2}+y_{p}^{2}+z_{p}^{2}\right)-2\left(x_{p}x_{q}+y_{p}y_{q}+z_{p}z_{q}\right)+\left(x_{q}^{2}+y_{q}^{2}+z_{q}^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b2714ca6cea9bdd7a17c5cc38d4c97ddf32fc3)
Si l’on veut avoir la somme des quarrés des distances du sommet
à tous Les autres, il faudra prendre la somme des résultats qu’on obtient en mettant dans cette formule pour
tous les nombres naturels de
à
inclusivement. Il ne sera pas même nécessaire d’en excepter le nombre
puisque la distance d’un sommet à lui-même est nulle. On obtiendra ainsi, pour la somme de ces quarrés, à l’aide des notations ci-dessus,