Afin dévaluer la quantité
et ses analogues, soient menées, par un point quelconque de l’espace, des parallèles aux côtés
du polygone ; la première fera, avec toutes les autres, des angles
Soient élevées, par le même point, aux plans de ces divers angles, des perpendiculaires que nous désignerons respectivement par
en représentant les angles que forment ces perpendiculaires avec les axes des coordonnées par
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\left(r_{1}r_{2},x\right),&\left(r_{1}r_{2},y\right),&\left(r_{1}r_{2},z\right),\\\left(r_{1}r_{3},x\right),&\left(r_{1}r_{3},y\right),&\left(r_{1}r_{3},z\right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots ,\\\left(r_{1}r_{n},x\right),&\left(r_{1}r_{n},y\right),&\left(r_{1}r_{n},z\right).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a70d1e75196d694a2c1450d2ca8c2888b2f744)
Cela posé, soient, pour un moment,
les cosinus des angles
que fait avec les axes la perpendiculaire
au plan de l’angle
construite comme il vient d’être dit. Comme elle est perpendiculaire, à la fois aux directions des deux droites
on aura, par les conditions connues de perpendicularité,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a\operatorname {Cos} .\alpha _{1}+b\operatorname {Cos} .\beta _{1}+c\operatorname {Cos} .\gamma _{1}=0,\\&a\operatorname {Cos} .\alpha _{2}+b\operatorname {Cos} .\beta _{2}+c\operatorname {Cos} .\gamma _{2}=0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7986e5066f2aa568c46e60daa581818c87cbc13d)
d’où on tire
![{\displaystyle b=a.{\frac {\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}-\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}}{\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8f01da09a5a6b340c322ba5900d6ef7225e450)
![{\displaystyle c=a.{\frac {\operatorname {Cos} .\alpha _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}-\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\alpha _{2}}{\operatorname {Cos} .\beta _{1}\operatorname {Cos} .\gamma _{2}-\operatorname {Cos} .\gamma _{1}\operatorname {Cos} .\beta _{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6031caeca8f8c5eb10fca6fcb6c40f9479039702)
substituant ces valeurs dans l’équation de condition
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f00932a27e6d1da9736cee25077fe0a4cb9045c)
on trouvera