s’étendre de zéro à quatre droites ; attendu qu’on doit les compter invariablement, en partant de l’un quelconque des angles plans dont il s’agit, et en tournant constamment dans le même sens, jusqu’à ce qu’en passant par tous les autres on y soit revenu de nouveau. Tout cela admis, les équations (8) donneront d’abord (3)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{3}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{4}\right)+\ldots =0,\\&r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{3}\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{3},r_{1}r_{4}\right)+\ldots =0,\\&r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{4}\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{3},r_{1}r_{4}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)+\ldots \quad \qquad \qquad \qquad =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}(9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3ae26d74e51b5c3b042da338bf2d1bd4e8ca3b)
On aura, en second lieu, (4)
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}0=r_{2}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{2}\right)+r_{3}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{3}\right)\\+r_{4}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{4}\right)+\ldots +r_{n}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{n}\right)\\+2r_{2}r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{2},r_{1}r_{3}\right)+\ldots \end{array}}\right\}(10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6005270414db426c0cc0241e8e5fc32194c8f39c)
On aura enfin (5)
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}r_{2}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{2}\right)=\\r_{3}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{3}\right)+r_{4}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{4}\right)+\ldots +r_{n}^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\left(r_{1},r_{n}\right)\\+2r_{3}r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)\operatorname {Cos} .\left(r_{1}r_{3},r_{1}r_{4}\right)+\ldots \end{array}}\right\}(11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ad71390b8cc801a191dd20f23fe88acf3bc6ca)
Soient désignées, pour un moment, par
les perpendiculaires aux plans des angles
dont il a été question ci-dessus ; les deux premières équations (8) pourront être écrites ainsi
![{\displaystyle r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2},x\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{3},x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acecc79a0256aa5703b1fbf6cf9681f43b66b8e)
![{\displaystyle +r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{4},x\right)+\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf817f5720a28a1812ed6cb05ab71c603ef0ff2)
![{\displaystyle r_{2}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{2}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{2},y\right)+r_{3}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{3}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{3},y\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341bd895aac6b3cece0f24e740da420bdad0b0ac)
![{\displaystyle +r_{4}\operatorname {Sin} .\left(r_{1},r_{4}\right)\operatorname {Cos} .\left(p_{4},y\right)+\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9899720c2858f683de7606963d21d1027d100466)
Si, du produit de la première par
on retranche le produit de la seconde par
afin d’éliminer
entre elles, on trouvera