est égal à la somme des quarrés des trois arêtes qui partent de l’une de ses extrémités, augmentée des doubles produits de ces arêtes deux à deux, multipliés par les cosinus des angles que comprennent leurs directions.
En vertu des équations (9), on a
![{\displaystyle r^{2}\operatorname {Sin} .^{2}(r,x)=y^{2}\operatorname {Sin} .^{2}(x,y)+z^{2}\operatorname {Sin} .^{2}(x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea04ba3a5ed1a6fd5a4d9429d66ec6ebc686a456)
![{\displaystyle +2xy\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(x,z)\operatorname {Cos} .(xy,xz)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3977026a702de5d71551a5eb7b322040832d577e)
mais en quarrant la seconde des équations (14) on a
![{\displaystyle {\begin{array}{c}r^{2}\operatorname {Cos} .^{2}(r,x)=x^{2}+y^{2}\operatorname {Cos} .^{2}(x,y)+z^{2}\operatorname {Cos} .^{2}(x,z)+2xy\operatorname {Cos} .(x,y)\\+2xz\operatorname {Sin} .(x,z)+2yz\operatorname {Cos} .(x,z)\operatorname {Cos} .(x,z)\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a84da286c3e5879d35c5e0c33262dc966808555)
ajoutant cette équation à la précédente, il viendra
![{\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy\operatorname {Sin} .(x,y)+2xz\operatorname {Sin} .(x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29757af5b9315b035435ef9ab0508f82d4db43cc)
![{\displaystyle +2yz\left\{\operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(x,z)\operatorname {Cos} .(xy,xz)+\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(x,z)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7fa9d055265a72be6339e03b9c6a40b9b65cd7)
en égalant cette valeur de
à celle qui est donnée par la formule (16), on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .(x,y)\operatorname {Sin} .(x,z)\operatorname {Cos} .(xy,xz)=\operatorname {Cos} .(y,z)-\operatorname {Cos} .(x,y)\operatorname {Cos} .(x,z)\,;(17)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f2d5495713396c1b9e98f27ac8a2b5dde69121)
équation que l’on reconnaîtra pour l’équation fondamentale de la trigonométrie sphérique.
En vertu des équations (9), on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x\operatorname {Sin} .(z,x)\operatorname {Sin} .(zx,rz)=y\operatorname {Sin} .y,z)\operatorname {Sin} .(yz,rz),\\&y\operatorname {Sin} .(z,y)\operatorname {Sin} .(xy,rx)=z\operatorname {Sin} .z,x)\operatorname {Sin} .(xy,rx),\\&z\operatorname {Sin} .(z,z)\operatorname {Sin} .(yz,ry)=x\operatorname {Sin} .x,y)\operatorname {Sin} .(xy,ry)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0057790e71c282dbe60e85b65326b561fdc20ec4)
donc, en multipliant