En second lieu ; dans le XIX.e cahier du Journal de l’école polytechnique (pag. 575), si, dans la formule (7) de M. Cauchy, on fait ![{\displaystyle v'=0,\ v''=\varpi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efa16010059800b7517b73691b7cf0b0fc743c7)
elle devient
![{\displaystyle \int _{+1}^{0}\left\{e^{\varpi {\sqrt {-1}}}\left(ue^{\varpi {\sqrt {-1}}}\right)-\operatorname {f} (u)\right\}\operatorname {d} u=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }\left\{\operatorname {f} \left(e^{v{\sqrt {-1}}}\right)\right\}e^{v{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42d9f7d74b0bc8eeea33279e005c2c39a663f69)
qui se réduit à
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\left\{\operatorname {f} (-u)+\operatorname {f} (u)\right\}\operatorname {d} u=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }\left\{\operatorname {f} \left(e^{v{\sqrt {-1}}}\right)\right\}e^{v{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdae70faa4c01210810a9667b8aa99cc588c532)
ou bien
![{\displaystyle \int _{-1}^{+1}\operatorname {f} (u)\operatorname {d} u=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\varpi }e^{v{\sqrt {-1}}}\operatorname {f} \left(e^{v{\sqrt {-1}}}\right)\operatorname {d} v\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac812b912fd153910fe1214102dfd8116fa78e4b)
on néglige ici
à cause de l’hypothèse de M. Vernier ; et l’on retombe encore, comme on voit, aux notations près sur sa formule (P).
Maintenant, si, dans la formule (3) du même mémoire (pag. 574), on fait
on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(U+V{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} u}}=e^{-v+v{\sqrt {-1}}},\ {\frac {\operatorname {d} \left(U+V{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} v}}=\left(-1+{\sqrt {-1}}\right)ue^{-v+v{\sqrt {-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b39f8ef0f534c3e1857b8b4af3958dbd766ebe0)
ce qui change les fonctions
et
de cette formule en deux autres qui, substituées dans la formule (5) de ce même mémoire, donnent