![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u)=\operatorname {f} (t+u),\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0329adbdc575e12541fc47ffde3dae1e16a093b)
(6)
comme nous l’avions annoncé.
Si, dans cette dernière formule, on change
en
on aura
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u+v)=\operatorname {f} (t+u+v)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52aa264fb14fd961f86206ddebd37a81782db98)
mais, en vertu de la même formule, on peut, dans le premier membre, remplacer
par
donc
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u).\operatorname {f} (v)=\operatorname {f} (t+u+v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553c1ee2304f07b2b8647eafbdf97bbff728b2ef)
On peut de même, dans celle-ci, changer
en
en remplaçant ensuite, dans le premier membre,
par
puis dans l’équation résultante, changer
en
et ensuite
en
et ainsi de suite, de sorte qu’on a généralement
![{\displaystyle \operatorname {f} (t).\operatorname {f} (u).\operatorname {f} (v).\operatorname {f} (x)\ldots =\operatorname {f} (t+u+v+x+\ldots )\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88684b2c9178ccaa36490a1f5eaf6fd4d2c51ca1)
(8)
Si l’on suppose les quantités
toutes égales entre elles et à
et leur nombre égal à
cette équation deviendra
![{\displaystyle \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{n}=\operatorname {f} (nx).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6467e63682bfad45ec988b8e609ba8d34eba98d)
(9)
Or, comme ici
est quelconque, on peut changer
en
ce qui changera
en
et donnera en substituant, extrayant la racine et renversant
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\operatorname {f} (x)}}=\operatorname {f} \left({\frac {x}{n}}\right).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0d56e71157db9bb8bf203b088e4372f9a687c8)
(10)
En changeant, dans cette dernière équation,
en
elle devient