![{\displaystyle {\frac {1}{\left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f72ba60fd2a3dbf816cff989027b691c4c8a49b)
ou
![{\displaystyle \quad \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{-m}=\operatorname {f} (-mx).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41dc2db1aeb34e5bd174a33474d5e459262cf73)
(13)
Ainsi la formule (9), qui n’était démontrée que pour une valeur positive de l’exposant, se trouve l’étre présentement pour une valeur réèlle quelconque de cet exposant.
Au moyen de ces résultats, la formule du binôme de Ne\thetaon se trouve démontrée pour toute valeur réelle de l’exposant. On a, en effet, par ce qui précède, quelque valeur réelle qu’on attribue à
![{\displaystyle \left\{\operatorname {f} (x)\right\}^{m}=\operatorname {f} (mx)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ded36caef19879ae0fe210b671e65c04887a6b)
c’est-à-dire (5)
![{\displaystyle \left\{1+{\frac {x}{1}}z+{\frac {x}{1}}.{\frac {x+p}{2}}z^{2}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x+p}{2}}.{\frac {x+2p}{3}}z^{3}+\ldots \right\}^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8a5241cfb7b9c871ab7d6dd881daebafeaed1c)
![{\displaystyle =1+{\frac {mx}{1}}z+{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}z^{2}+{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}.{\frac {mx+2p}{3}}z^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d5c3f795f69a0e06d1244c93fa0a911aa84d4e)
![{\displaystyle +{\frac {mx}{1}}.{\frac {mx+p}{2}}\ldots {\frac {mx+(n-1)p}{n}}z^{n}+\ldots (14)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20656ce7c712eda854cec6851ea8ce7164aecbb)
Faisant dans cette équation
et
elle deviendra
![{\displaystyle (1+z)^{m}=1+{\frac {m}{1}}z+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}z^{2}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}z^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b810e79b285615bfb95ceb349dd7305edc71639b)
![{\displaystyle +{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}.{\frac {m-2}{3}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}z^{n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9981f0ce3475bd3292dbd0fd721cbc98b508d7b)
Changeant ensuite
en
et multipliant les deux membres par
on obtiendra, quel que soit le nombre réel ![{\displaystyle m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![{\displaystyle (x+a)^{m}=x^{m}+{\frac {m}{1}}ax^{m-1}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{2}x^{m-2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2debd3c94f6dfd35f11783745cb82b50ca0d23b)
![{\displaystyle +\ldots {\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}a^{n}x^{m-n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57806bcab7d9cbcc46720f5cfa30f152fda9b09)
(15)
Cette formule peut au surplus, pour le cas de l’exposant en-