résultat dont la symétrie prouve qu’il y a autant de termes dans une équation complète du
me degré entre
inconnues qu’il y en a dans une équation complète du
me degré entre
inconnues[1].
Passons au développement des fonctions exponentielles et logarithmiques. Si, dans l’équation (14) qui a lieu, quels que soient
on fait
et
elle devient
![{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots \right)^{At}=1+{\frac {At}{1}}+{\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{3!}}+{\frac {A^{4}t^{4}}{4!}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7676b91a2d5f918fed4836da08819498783dea41)
ou en représentant par
la série du premier membre,
![{\displaystyle e^{At\ {\underline {\mathrm {pos} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a212986069496fa1906b4b00597974cb02a5636a)
ou
![{\displaystyle \left(e^{A}\right)^{t}=1+{\frac {At}{1}}+{\frac {A^{2}t^{2}}{2!}}+{\frac {A^{3}t^{3}}{3!}}+{\frac {A^{4}t^{4}}{4!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c090f727bc17f6f23e114d815fd85c12664ecefa)
Posant
auquel cas
sera le logarithme Népérien de
on aura
![{\displaystyle a^{t}=1+{\frac {t\operatorname {l} a}{1}}+{\frac {t^{2}\operatorname {l} a^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {l} a^{3}}{3!}}+{\frac {t^{4}\operatorname {l} a^{4}}{4!}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f842f7f0471112f93cf43764fa299addf17d59)
(20)
puis, en changeant
en ![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
![{\displaystyle e^{t}=1+{\frac {t}{1}}+{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa9f1fe6d53dda2d32a121128aa9528c538ee5b4)
(21)
qui aura lieu quel que soit ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
En changeant, dans la formule (20),
en
elle devient
- ↑ On peut aussi consulter, sur ce sujet, la page 282 du XIII.e volume du présent recueil.
J. D. G.