Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1824-1825, Tome 15.djvu/51

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE.

Démonstration d’un théorème de M. Lhuilier,
énoncé dans la Bibliothèque universelle (mars 1824, p. 169).

Par un Abonné.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

PROBLÈME. Déterminer l’aire du polygone dont les sommets sont les pieds des perpendiculaires abaissées sur les directions des côtés d’un polygone régulier donné, d’un point donné sur le plan de ce polygone ?

Solution. Soient $m$ le nombre des côtés du polygone régulier donné, et $r$ le rayon du cercle circonscrit. Soit pris son centre pour origine des coordonnées rectangulaires, et faisons passer l’axe des $x$ positifs par l’un quelconque de ses sommets. Les équations d’un sommet quelconque seront de la forme

$x=r\operatorname {Cos} .{\frac {2n\pi }{m}},\qquad y=r\operatorname {Sin} .{\frac {2n\pi }{m}},$

où $n$ représente un nombre entier positif quelconque. On en conclura les équations du sommet qui suit immédiatement celui-là en y changeant $n$ en $n+1,$ ce qui donnera

$x=r\operatorname {Cos} .{\frac {2(n+1)\pi }{m}},\qquad y=r\operatorname {Sin} .{\frac {2(n+1)\pi }{m}}\,;$