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branches qu’on leur connaît, en ont encore d’autres, d’une nature fort singulière, qui semblent avoir été absolument méconnues jusqu’ici. Nous aurons soin de tirer, chemin faisant, des résultats auxquels nous serons parvenus, toutes les diverses conséquences qui pourront intéresser la philosophie de la science, et notamment celles qui en résultent relativement à la nature des logarithmes des nombres négatifs.

2. Mais, avant d’entrer en matière, rappelons brièvement et complétons des notions connues, sur lesquelles ensuite nous aurons principalement besoin de nous appuyer.

Soit représentée par $A$ la valeur arithmétique absolue de $a^{\frac {m}{n}}$ où $m$ et $n$ sont deux nombres entiers premiers entre eux, et $a$ un nombre quelconque, positif ou négatif. Il est connu que $a^{\frac {m}{n}}$ a $n$ valeurs différentes que l’on obtient en multipliant $A$ par $(+1)^{\frac {m}{n}}$ ou par $(-1)^{\frac {m}{n}},$ suivant que $a$ est positif ou négatif.

3. Supposons, en premier lieu ${\frac {m}{n}}>0,\ a$ pouvant d’ailleurs être positif ou négatif. Si d’abord on le suppose positif, on obtiendra les $n$ valeurs de $(a)^{\frac {m}{n}}$ en multipliant $A$ par $(+1)^{\frac {m}{n}}$ dont on aura toutes les valeurs possibles en mettant successivement pour $k$ les valeurs $0,1,2,3,\ldots n-1$ dans la formule

$\operatorname {Cos} .{\frac {2mk\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2mk\pi }{n}}\,;$

ce qui donnera, en ne prenant que les restes de division de $mk$ par $n,$

$\operatorname {Cos} .0+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .0=1,$

$\operatorname {Cos} .{\frac {2\pi }{n}}+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\pi }{n}},$