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Solution du premier des trois problèmes de géométrie
énoncés à la page 308 du présent volume ;

Par M. Stein, professeur au gymnase de Trèves,
ancien élève de l’école polytechnique.

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PROBLÈME. Quel est le lieu des points du plan d’un triangle desquels menant des droites à ses sommets, puis, par ces mêmes sommets respectivement, des perpendiculaires à ces droites, ces perpendiculaires forment, par leur rencontre, un triangle circonscrit équivalant à un carré donné ?

Solution. Soit $k^{2}$ l’aire du carré donné.

Soit rapporté le triangle donné à deux axes rectangulaires quelconques, et soit alors $(x,y)$ le point dont on cherche le lieu. Soient en outre $(a,b),(a',b'),$$(a'',b''),$ les trois sommets du triangle donné, et $(X,Y),(X',Y'),(X'',Y''),$ les sommets respectivement opposés du triangle variable de figure et de situation dont l’aire doit être constante.

Ce dernier triangle excède le premier de trois autres triangles ayant respectivement pour bases les trois côtés de celui-ci et ayant pour sommets les sommets de l’autre.

Considérons, en particulier, celui dont le sommet est en $(X,Y),$ son aire est, comme l’on sait,

${\frac {1}{2}}\left\{(b'-b'')X-(a'-a'')Y+(a'b''-b'a'')\right\}.$