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${\frac {\left\{(a-a')(x-a)+(b-b')(y-b)\right\}\left\{(a-a')(x-a')+(b-b')(y-b')\right\}}{2\left\{(b-b')x-(a-a')y+(ab'-ba')\right\}}}\,;$

d’un autre côté, l’aire du triangle donné est

${\frac {1}{2}}\left\{(a'b''-b'a'')+(a''b-b''a)+(ab'-ba')\right\}\,;$

en égalant donc à $k^{2}$ la somme de ces quatre expressions, on obtiendra l’équation de la courbe cherchée.

Présentement, pour simplifier un peu nos résultats, plaçons l’origine au sommet $(a'',b'')$ du triangle donné, en laissant d’ailleurs toujours aux axes une direction arbitraire, afin de ne pas trop sacrifier la symétrie à la simplicité. En désignant par $c,c'$ les deux côtés qui concourent à ce sommet et par $\alpha ''$ l’angle compris, on aura, comme l’on sait

${\begin{array}{lll}a''=0,&a^{2}-b\,^{2}+c'^{2},&ab'-ba'=cc'\operatorname {Sin} .\alpha '',\\\\b''=0,&a^{2}+b'^{2}+c^{2},&aa'+bb'=cc'\operatorname {Cos} .\alpha ''\,;\end{array}}$

en conséquence l’équation de la courbe sera

$\left.{\begin{aligned}&cc'\operatorname {Sin} .\alpha ''+{\frac {(a'x+b'y)\left(a'x+b'y-c^{2}\right)}{b'x-a'y}}-{\frac {(ax+by)\left(ax+by-c'^{2}\right)}{bx-ay}}\\\\+&{\frac {\left\{(a-a')x+(b-b')y-c'(c'-c\operatorname {Cos} .\alpha '')\right\}\left\{(a-a')x+(b-b')y+c(c-c'\operatorname {Cos} .\alpha '')\right\}}{(b-b')x-(a-a')y+cc'\operatorname {Sin} .\alpha ''}}\end{aligned}}\right\}=2k^{2}.$

En réduisant tout le premier membre en une seule fraction, et ayant toujours égard aux relations ci-dessus, on trouve finalement