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(2)$\qquad \qquad \int _{-X}^{+X}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x.$

Or, généralement,-

(3)$\qquad {\frac {\operatorname {d} .\operatorname {f} \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} y}}={\sqrt {-1}}.{\frac {\operatorname {d} .\operatorname {f} \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} x}}.$

Si l’on intègre les deux membres de l’équation précédente, par rapport à $x$ et à $y,$ entre les limites $x=-X,\ x=+X,\ y=0,\ y=\infty ,$ on en tirera

$\int _{-X}^{+X}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {d} .\operatorname {f} \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y\operatorname {d} x=$

${\sqrt {-1}}\int _{0}^{\infty }\int _{-X}^{+X}{\frac {\operatorname {d} .\operatorname {f} \left(x+y{\sqrt {-1}}\right)}{\operatorname {d} x}}\operatorname {d} x\operatorname {d} y\,;$

puis, en ayant égard à la condition $\operatorname {f} \left(x+\infty {\sqrt {-1}}\right)=0$

(4) $\int _{-X}^{+X}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=-{\sqrt {-1}}\int _{0}^{\infty }\left[\operatorname {f} \left(X+y{\sqrt {-1}}\right)-\operatorname {f} \left(-X+y{\sqrt {-1}}\right)\right]\operatorname {d} y.$

Si maintenant on attribue à la quantité $X$ une valeur très-grande, on aura sensiblement

$\left(X+y{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {f} \left(X+y{\sqrt {-1}}\right)=\left(-X+y{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {f} \left(-X+y{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {F} ,$

et, par suite

$\operatorname {f} \left(X+y{\sqrt {-1}}\right)={\frac {\mathrm {F} }{X+y{\sqrt {-1}}}},\qquad \operatorname {f} \left(-X+y{\sqrt {-1}}\right)={\frac {\mathrm {F} }{-X+y{\sqrt {-1}}}},$

d’où

(5)$\quad \int _{-X}^{+X}\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=-\mathrm {F} {\sqrt {-1}}\int _{0}^{\infty }\left\{{\frac {1}{X+y{\sqrt {-1}}}}+{\frac {1}{X-y{\sqrt {-1}}}}\right\}\operatorname {d} y$