(8)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .ax}{1+x^{2}}}\operatorname {d} x=e^{-a}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}\operatorname {d} x=\varpi e^{-a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6569bba45aa5e4bd04b5959000f42d2b97f69f27)
(9)
[1]
Corollaire II. Si l’on désigne par
et
deux fonctions qui, considérées isolément, ne vérifient pas les conditions énoncées dans le théorème ; mais dont la différence
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)-\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8413bc196e36dc4f21142527ee7250ef3c32d3b)
satisfasse aux conditions dont il s’agit ; alors en représentant par
![{\displaystyle \mathrm {F} \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5c780d15e8ea4030ca34623b4a94c2736a8993)
et
![{\displaystyle \qquad \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165d187319bcd182d08e63075ebfacc06f38c7f3)
les limites vers lesquelles convergent les produits
![{\displaystyle x\operatorname {f} (x)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e62d5c7ec9a5ca0d6d61773c741868129fc231)
et
![{\displaystyle \qquad x\varphi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fe4f32831602c8d72e0e166ad310c98de7c5c2)
tandis que la valeur numérique de la variable
croît de plus en plus ; on aura évidemment
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left[\operatorname {f} (x)-\varphi (x)\right]\operatorname {d} x=\varpi (\Phi -\mathrm {F} ){\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/978c9c7131ea29c8b18dd1603b4b4264df4eb7fb)
et, par suite
(10)
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x+\varpi (\Phi -\mathrm {F} ){\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4c7e8c3d4ef39995e8b5a47ee58c6da8f91dc7)
- ↑ La formule (8) a été donnée par M. Laplace. La formule (9) est évidente.