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(8) $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Cos} .ax}{1+x^{2}}}\operatorname {d} x=e^{-a}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {d} x}{1+x^{2}}}\operatorname {d} x=\varpi e^{-a},$

(9)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\operatorname {Sin} .ax}{1+x^{2}}}\operatorname {d} x=0.\qquad$^[1]

Corollaire II. Si l’on désigne par $\operatorname {f} (x)$ et $\varphi (x)$ deux fonctions qui, considérées isolément, ne vérifient pas les conditions énoncées dans le théorème ; mais dont la différence

$\operatorname {f} (x)-\varphi (x)$

satisfasse aux conditions dont il s’agit ; alors en représentant par

$\mathrm {F} \qquad$et$\qquad \Phi$

les limites vers lesquelles convergent les produits

$x\operatorname {f} (x)\qquad$et$\qquad x\varphi (x)$

tandis que la valeur numérique de la variable $x$ croît de plus en plus ; on aura évidemment

$\int _{-\infty }^{+\infty }\left[\operatorname {f} (x)-\varphi (x)\right]\operatorname {d} x=\varpi (\Phi -\mathrm {F} ){\sqrt {-1}},$

et, par suite

(10) $\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {f} (x)\operatorname {d} x=\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x+\varpi (\Phi -\mathrm {F} ){\sqrt {-1}}.$

1. La formule (8) a été donnée par M. Laplace. La formule (9) est évidente.